Escritura lógica de las matemáticas

ESCRITURA MATEMÁTICA

El otro día en clase estábamos haciendo un ejercicio y apareció una fórmula casi indescifrable. AL igual que cada vez que leemos un teorema aparecen símbolos por lo que nos hace más difícil la compresión de dichos. Algunos de estos símbolos ya los tenemos asumidos

Los logicistas, en su afán de aislar los elementos lógicos del razonamiento, crearon la lógica simbólica. Mediante un simbolismo especial se traduce el discurso en fórmulas análogas a las matemáticas, las cuales ponen de relieve las estructuras lógicas. 

Su actividad más importante: DEMOSTRAR  “Partir de unas afirmaciones y deducir mediante reglas otras proposiciones más complejas”

• Empezamos por las proposiciones: Son afirmaciones que se refieren a objetos ya introducidos y que son verdaderas o falsas y sus conectores son operadores lógicos. “Dos cosas A y B, cada una de ellas iguales a una tercera C, son iguales entre sí”. “La suma de los 3 ángulos de un triángulo es 180º”....

1. Negación: No A

2. A y B

3. A o B (no excluyente), o bien A o bien B (excluyente)

Distintos sentidos con el "o"

a) /No mandé que Juan y Pedro lo hicieran. Lo que ordené fue que Juan o Pedro lo hicieran./

b) /Ordené que lo hicieran Pedro y Juan. No dije que lo hicieran Pedro o Juan./

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4. La implicación A  B. Si A entonces B.Si se verifica A, entonces es suficiente para que se verifique B.

Si B no se verifica, tampoco puede hacerlo A. Si no B entonces no A. B es necesario para A.

Un pequeño ejercicio:

Sonia dijo: 

“ Si llueve me quedo en casa”

Si está en casa ¿qué deduces?

Nada, no afirmó nada sobre lo que haría si 

no llueve

Si no está en casa ¿qué sabes?

5. La equivalencia o doble implicación A

B. A sí y sólo si B.

• Se utilizan diferentes vocablos, los cuantificadores lógicos:
  ∀ “para todo” o “para cada”: ∀x ∈A,∀ z<4ç
         ∈ "Pertenece a"

  
  

  ∃ “existe” o “para algún” Enlace de cuantificadores: / (tal que), || (se verifica que)

  ∀x∈X ∃y∈Y э f(x) = y 
  Para todo x perteneciente a X existe al menos un y perteneciente a Y TAL QUE f(x)=y 
  Otro pequeño ejercicio:
  

  Consideramos los colectivos: C de ciudadanos, P de periódicos y D de días.Escribe utilizando los cuantificadores las frases:

   “Algún ciudadano habrá que cada día lea todos los periódicos”:

  ∃c∈ C / ∀p∈ P ∀d∈ D // c lee p en d

   “Cada día habrá algún loco que lea todos 

  los periódicos”:

  
  

  
  

  ∀

  d

  ∈

   D

  ∃

  
  

   c

  ∈

   C /
  

  ∀

   p

  
  

  ∈

  
  

   P // c lee p en d

  
  

  
  

Con estas pequeñas anotaciones del lenguaje lógico de las matematicas dejo los típico problemas de lógica que todos conocemos o hemos leído alguna vez.

1. Hay una isla donde conviven caballeros (que siempre dicen la verdad), normales (que pueden mentir o decir la verdad) y escuderos (que siempre mienten).Tenemos tres isleños (A,B y C), uno normal, otro caballero y otro escudero, que nos dan las siguientes pistas:

A: Yo soy alfredo

B: Eso es verdad

C: Yo no soy alfredo

¿A qué grupo pertenece cada uno?

2.Un rey reúne 3 sabios para elegir consejero, y les dice que tiene 2 capirotes negros y 3 blancos y que colocará uno a cada uno. Viendo sólo de que color son los de los otros 2, deben adivinar el color del suyo y justificar su respuesta. El rey les coloca los tres capirotes blancos y guarda los 2 negros, y dice que ya pueden comenzar. Pasa cierto tiempo y uno de los sabios da la respuesta. ¿Sabrías justificar como supo que el suyo era blanco?

3.Tenemos 3 sospechosos de robo en una tienda (A,B y C), y tenemos las siguientes certezas:

a) Los 3 habían estado en la tienda ese día, y nadie más estuvo allí ese día

b) Si A es culpable, sólo tenía un cómplice

c) Si B es inocente, también lo es C; si C es inocente, también lo es B

d) Si sólo 2 son culpables, A es uno de ellos

-4. Acertijo de Albert Einstein
Para empezar, hemos de saber que las características son que cada persona es de una nacionalidad, vive en una casa de un determinado color, su casa está ubicada en un determinado lugar respecto a las otras, fuma una marca de cigarrillos determinada, consume una bebida determinada y tiene una mascota. Ninguno de los factores se repite, y a cada uno le corresponde uno de cada clase. 

Dicho esto, se dan las siguientes certezas:

a) El británico vive en la casa roja.

b) El sueco tiene un perro.

c) El danés toma té.

d) La casa verde esta a la izquierda de la blanca.

e) El dueño de la casa verde toma café.

f ) La persona que fuma Pall Mall tiene un pájaro.

g) El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.

h) El que vive en la casa del centro toma leche.

i ) El noruego vive en la primera casa.

j ) La persona que fuma Brends vive junto a la que tiene un gato.

k) La persona que tiene un caballo vive junto a la que fuma Dunhill.

l ) El que fuma Bluemasters bebe cerveza.

m) El alemán fuma prince.

n) El noruego vive junto a la casa azul.

ñ) El que fuma Brends tiene un vecino que toma agua

Y la pregunta es:

¿Quién es el dueño del pez?

Soluciones:

1. A es escudero, B es normal y C es caballero2. Mediante la empatía (ir situándose en el lugar de cada uno de los sabios, imaginar lo que ven y suponer sus reacciones dependiendo del color del capirote de nuestro sabio) se da concluye que la única posibilidad de que sólo haya hablado uno de los sabios es porque no había ningún capirote negro.3.Ninguno es culpable, y como sólo ellos estuvieron en la tienda ese día, no se produjo ningún robo
4. Alemán